Законы сложения векторов являются одними из ключевых понятий векторной алгебры, которые позволяют совершать операции с векторами. Во многих физических явлениях и задачах, где действуют силы, скорости или ускорения, необходимо знание этих законов.
Главный закон сложения векторов утверждает, что если на плоскости даны два вектора, то их сумма равна вектору, полученному путем последовательного перемещения одного из них в конец другого. Этот закон называется параллелограммовым законом или законом параллелограмма. Он формулируется следующим образом: «Сумма двух векторов равна вектору, диагональ которого является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах».
Доказательство параллелограммового закона основывается на определении вектора и свойствах параллелограмма. Рассмотрим два вектора AB и AC, применяя к ним правила сложения векторов, можно получить векторы BC и CB. Затем, применив еще раз правило сложения векторов, мы получим вектор BA. По свойству параллелограмма, стороны противоположным сторонам параллелограмма равны по длине и параллельны друг другу. Также диагонали параллелограмма делятся пополам. В результате получаем, что векторы AB и BA равны по длине и направлению, и их сумма равна нулевому вектору.
Формулировка теоремы
Теорема о законах сложения векторов устанавливает, что для сложения двух векторов достаточно последовательно применить к ним соответствующие законы алгебры векторов: коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.
Сформулируем теорему:
Для любых двух векторов ? и ? и любых чисел ? и ?:
1) Закон коммутативности: ? + ? = ? + ?
2) Закон ассоциативности: (? + ?) + ? = ? + (? + ?)
3) Закон дистрибутивности: ?(? + ?) = ?? + ??
где ?, ? и ? — векторы, ? и ? — числа.
Таким образом, эти законы позволяют совместно использовать операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Закон коммутативности сложения
Закон коммутативности сложения векторов в геометрии утверждает, что порядок слагаемых не меняет результат сложения. Иначе говоря, для любых векторов а и b выполняется равенство:
| a + b = b + a |
|---|
Этот закон можно проиллюстрировать графически. Представим, что вектор а является направлением и длиной отрезка, а вектор b — другим отрезком. Для сложения a + b мы сначала находим конец вектора a, а затем рисуем вектор b от конца вектора a. Однако, если мы поменяем порядок векторов и сначала нарисуем вектор b, а затем добавим к нему вектор a, результат будет точно такой же — конец вектора b. Это иллюстрирует закон коммутативности сложения векторов.
Математически, закон коммутативности сложения векторов может быть доказан следующим образом:
Пусть вектор a имеет компоненты a1, a2, …, an, а вектор b имеет компоненты b1, b2, …, bn. Тогда сумма векторов будет равна:
| a + b = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j + … + (an + bn)k |
Таким образом, меняя порядок слагаемых в каждом элементе суммы, мы получим:
| b + a = (b1 + a1)i + (b2 + a2)j + … + (bn + an)k |
Так как сложение чисел коммутативно, то для каждого элемента компоненты выполняется равенство:
| ai + bi = bi + ai |
Следовательно, сумма векторов a + b и b + a будет одинаковой, и закон коммутативности сложения векторов доказан.
Закон ассоциативности сложения
Закон ассоциативности сложения векторов формулирует принцип, согласно которому порядок сложения векторов не влияет на результат. Иными словами, когда мы имеем дело со сложением трех или более векторов, мы можем менять порядок суммирования местами, не меняя итогового результата.
Для формального доказательства закона ассоциативности сложения векторов предположим, что у нас есть три вектора, обозначенных как A, B и C. Каждый вектор может быть представлен с помощью его компонентов, например, A = (Ax, Ay) и аналогично для B и C.
По определению, сумма векторов A и B определена как (Ax + Bx, Ay + By), а сумма векторов B и C — как (Bx + Cx, By + Cy). Если мы сложим векторы A и B, а затем прибавим вектор C, получим (Ax + Bx + Cx, Ay + By + Cy).
С другой стороны, если мы сперва сложим векторы B и C, а затем прибавим вектор A, получим (Ax + Bx + Cx, Ay + By + Cy). Как видно, результаты совпадают, что и доказывает ассоциативность сложения векторов.
Применение закона ассоциативности сложения векторов в описании физических явлений и задачах механики позволяет упростить их решение и сделать их более понятными.
| Исходные векторы | Результат сложения |
|---|---|
| A + (B + C) | (Ax + Bx + Cx, Ay + By + Cy) |
| (A + B) + C | (Ax + Bx + Cx, Ay + By + Cy) |
Доказательство теоремы
Для того чтобы доказать теорему о законах сложения векторов, рассмотрим два вектора A и B, которые представлены в виде:
| A = A1i + A2j + A3k | B = B1i + B2j + B3k |
где A1, A2, A3, B1, B2, B3 — числовые коэффициенты,
i, j, k — орты.
Сложим векторы A и B по правилу сложения: A + B = (A1 + B1)i + (A2 + B2)j + (A3 + B3)k.
Получаем, что сумма векторов A и B равна вектору, состоящему из сумм соответствующих компонент векторов A и B.
Таким образом, теорема о законах сложения векторов доказана.
Доказательство закона коммутативности сложения
Для доказательства закона коммутативности сложения векторов нам понадобится использовать геометрическую интерпретацию векторов. Пусть у нас есть два вектора A и B.
Согласно закону коммутативности сложения, сумма векторов A и B должна быть равна сумме векторов B и A. То есть A + B = B + A.
Чтобы это доказать, представим вектор A в виде отрезка прямой линии, а вектор B — в виде другого отрезка, начинающегося с конца вектора A. Теперь соединим начало вектора A с концом вектора B и получим треугольник ABC, где C — это точка пересечения отрезков A и B.
Так как мы рассматриваем треугольник, то его стороны могут быть переставлены без изменения фигуры. Поэтому мы можем переставить стороны треугольника ABC так, чтобы вектор A заменился на вектор B, а вектор B — на вектор A. При этом точка C останется в том же положении.
Теперь у нас получился треугольник A’B’C’, где A’ — это начало вектора B, B’ — это начало вектора A, а C’ — это точка пересечения переставленных отрезков.
Рассмотрим теперь векторы A и B, соединяющие начало вектора A’ с концом вектора B’ и начало вектора B’ с концом вектора A’. Заметим, что эти векторы совпадают и имеют одинаковую длину и направление. Следовательно, вектор A + B равен вектору B + A и мы доказали закон коммутативности сложения векторов.
Доказательство закона ассоциативности сложения
Доказательство закона ассоциативности сложения векторов основано на их представлении в виде координат. Пусть даны три вектора A, B и C с соответствующими координатами (xA, yA) , (xB, yB) и (xC, yC).
Сложение векторов по определению производится следующим образом: A + B = (xA + xB, yA + yB) и B + C = (xB + xC, yB + yC).
Согласно закону ассоциативности, выполняется равенство (A + B) + C = A + (B + C), то есть сумма A, B и C не зависит от порядка сложения. Докажем это.
Первое слагаемое (A + B) + C вычислим следующим образом: (xA + xB, yA + yB) + C = ((xA + xB) + xC, (yA + yB) + yC).
Второе слагаемое A + (B + C) вычислим так: A + (xB + xC, yB + yC) = (xA + (xB + xC), yA + (yB + yC)).
По свойству ассоциативности сложения вещественных чисел (xA + xB) + xC = xA + (xB + xC) и (yA + yB) + yC = yA + (yB + yC), следовательно, их координаты совпадают.
Таким образом, мы доказали, что (A + B) + C = A + (B + C), что и требовалось доказать. Закон ассоциативности сложения векторов верен.
Вопрос-ответ:
Какую информацию дает теорема о законах сложения векторов?
Теорема о законах сложения векторов позволяет определить результат сложения двух векторов. Она утверждает, что сумма двух векторов равна вектору, полученному при последовательном построении этих векторов — начиная с начала первого вектора и заканчивая концом второго вектора.
Как можно проиллюстрировать теорему о законах сложения векторов?
Теорему о законах сложения векторов можно проиллюстрировать на плоскости или в пространстве. Например, если имеется два вектора A и B, то точку начала вектора B следует разместить в конце вектора A. Тогда вектор, соединяющий начало вектора A и конец вектора B, будет равен сумме векторов A и B.
Какие свойства имеют векторы при сложении?
При сложении векторов соблюдаются следующие свойства: коммутативность (порядок слагаемых не имеет значения), ассоциативность (результат сложения не зависит от способа группировки слагаемых), а также существование нулевого вектора (сумма вектора и нулевого вектора равна самому вектору).
Как доказывается теорема о законах сложения векторов?
Доказательство теоремы о законах сложения векторов основывается на геометрическом представлении векторов и алгебраических операциях над ними. Для доказательства используются свойства параллелограмма и прямоугольного треугольника, а также алгебраические операции сложения и вычитания векторов.
Какова формулировка теоремы о законах сложения векторов?
Формулировка теоремы о законах сложения векторов звучит следующим образом: «Сумма двух векторов равна вектору, полученному при последовательном построении этих векторов — начиная с начала первого вектора и заканчивая концом второго вектора.»